Question

已知椭圆C：

x2

a2

+y²=1（a＞1）的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点S（0，-

1

3

）的直线l交椭圆C于A、B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T，使得以AB为直径的圆恒过点T？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知条件得c=1，a=

2

，由此能求出椭圆的方程．
（2）当l与x轴平行时，以AB为直径的圆的方程为x2+(y+

1

3

)2=(

4

3

)2，当l与x轴垂直时，以AB为直径的圆的方程为x²+y²，两圆相切于点（0，1），T（0，1）就是所求的点．

解答： 解：（1）∵椭圆C：

x2

a2

+y²=1（a＞1）的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，
∴c=1，a=

2

，∴b²=2-1=1，
∴椭圆的方程为

x2

2

+y2=1．…（5分）
（2）当l与x轴平行时，|AB|=

8

3

，
从而以AB为直径的圆的方程为x2+(y+

1

3

)2=(

4

3

)2①
当l与x轴垂直时，|AB|=2，
从而以AB为直径的圆的方程为x²+y²②
联立①②得，

x=0 y=0

，即两圆相切于点（0，1），
∴所求的T点如果存在，只能是（0，1）…（8分）
事实上，T（0，1）就是所求的点，证明如下：
当直线l与x轴垂直时，以AB为直径的圆过点T（0，1），
当直线l与x轴不垂直时，设l的方程为y=kx-

1

3

，
由

y=kx- 1 3 x2 2 +y2=1

，消去y得（18k²+9）x²-12kx-16=0，
设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x1+x2=

12k

18k2+9

，x1x2=

-6k

18k2+9

又

TA

=(x1，y1-1)，

TB

=(x2，y2-1)…（10分）
∵

TA

•

TB

=x₁x₂+（y₁-1）（y₂-1）
=(1+k2)x1x2-

4

3

k(x1+x2)+

16

9

=(1+k2)•

-6k

18k2+9

-

4

3

k•

12k

18k2+9

+

16

9

=0…（12分）
∴

TA

⊥

TB

，即以AB为直径的圆恒过定点T（0，1）
∴在坐标平面上存在一个点T（0，1）满足条件．…（13分）

点评：本题考查椭圆标准方程的求法，考查满足条件的点的坐标是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．