Question

已知抛物线的顶点为O（0，0），焦点在x轴上，且过点（2，4），
（1）求抛物线的标准方程；
（2）与圆（x+2）²+y²=4相切的直线l：x=ky+t交抛物线于不同的两点M，N．若抛物线上一点C满足

OC

=λ（

OM

+

ON

）（λ＞0），求λ的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）设出抛物线方程为y²=2px，代入点（2，4），解出p，即可得到方程；
（2）运用直线与圆相切的条件d=r，得，4k²=t²+4t，将直线与抛物线联立，消去x，由判别式大于0，和韦达定理，由

OC

=λ（

OM

+

ON

）（λ＞0），得到C与M，N的坐标之间的关系，由C在抛物线上，得到方程，化简整理，并运用t＜-6或t＞0，即可求出λ的范围．

解答： 解：（1）由题意可设抛物线方程为y²=2px，
将点（2，4）代入得，16=4p，p=4，
∴抛物线方程为y²=8x；
（2）∵直线l：x=ky+t与圆（x+2）²+y²=4相切，
∴

|t+2|

k2+1

=2得4k²=t²+4t，①
将l：x=ky+t代入y²=8x得，
y²-8ky-8t=0，
由△=64k²+32t＞0
即4k²+2t=t²+6t＞0得t＜-6或t＞0，
设C（x₀，y₀），则y₀²=8x₀，
由y₁+y₂=8k，x₁+x₂=k（y₁+y₂）+2t，
∵

OC

=λ（

OM

+

ON

）（λ＞0），
∴x₀=λ（x₁+x₂）=λ（8k²+2t），y₀=λ（y₁+y₂）=8kλ，
∴（8kλ）²=8λ（8k²+2t），②
则①代入②化简整理得，λ=1+

1

t+4

，
t+4=

1

λ-1

，∵t＞0或t＜-6，∴

1

2

＜λ＜1或1＜λ＜

5

4

．
∴λ的取值范围是（

1

2

，1）∪（1，

5

4

）．

点评：本题考查抛物线的方程和性质，考查直线方程与抛物线方程联立，运用韦达定理，以及直线与圆相切的条件，考查向量的坐标表示，以及基本的运算能力，属于中档题．