Question

在△ABC中，角A、B、C所对边分别是a、b、c，且cosA=

1

3

．
（Ⅰ）求cos（B+C）+cos2A的值：
（Ⅱ）若a=2

2

，b+c=4，求△ABC的面积．

Answer 1

考点：余弦定理,两角和与差的余弦函数

专题：解三角形

分析：（Ⅰ）原式利用诱导公式及二倍角的余弦函数公式化简，将cosA的值代入计算即可求出值；
（Ⅱ）利用余弦定理列出关系式，将a，cosA的值代入，利用完全平方公式变形，求出bc的值，即可确定出三角形面积．

解答： 解：（Ⅰ）∵cosA=

1

3

，
∴cos（B+C）+cos2A=-cosA+2cos²A-1=-

1

3

-

7

9

=-

10

9

；
（Ⅱ）∵a=2

2

，cosA=

1

3

，即sinA=

1-cos2A

=

2 2

3

，
∴由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA，即8=b²+c²-

2

3

bc=（b+c）²-

8

3

bc=16-

8

3

bc，
整理得：bc=3，
则S_△ABC=

1

2

bcsinA=

1

2

×3×

2 2

3

=

2

．

点评：此题考查了余弦定理，三角形面积公式，以及二倍角的余弦函数公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．