Question

在△A₁A₂A₃中，不等式

1

A1

+

1

A2

+

1

A3

≥

9

π

成立；在四边形A₁A₂A₃A₄中，不等式

1

A1

+

1

A2

+

1

A3

+

1

A4

≥

16

2π

成立；在五边形A₁A₂A₃A₄A₅中不等式

1

A1

+

1

A2

+

1

A3

+

1

A4

+

1

A5

≥

25

3π

成立；猜想在n边形A₁A₂…A_n（n≥3，n∈N^*）中，不等式有

1

A1

+

1

A2

+…+

1

An

≥

 

成立．

Answer 1

考点：归纳推理

专题：推理和证明

分析：由已知中在△A₁A₂A₃中，不等式

1

A1

+

1

A2

+

1

A3

≥

9

π

成立；在四边形A₁A₂A₃A₄中，不等式

1

A1

+

1

A2

+

1

A3

+

1

A4

≥

16

2π

成立；在五边形A₁A₂A₃A₄A₅中不等式

1

A1

+

1

A2

+

1

A3

+

1

A4

+

1

A5

≥

25

3π

成立；归纳可得不等式右边分子为多边形边数的平方，分母为多边形的内角和，进而得到答案．

解答： 解：由在△A₁A₂A₃中，不等式

1

A1

+

1

A2

+

1

A3

≥

9

π

成立；
在四边形A₁A₂A₃A₄中，不等式

1

A1

+

1

A2

+

1

A3

+

1

A4

≥

16

2π

成立；
在五边形A₁A₂A₃A₄A₅中不等式

1

A1

+

1

A2

+

1

A3

+

1

A4

+

1

A5

≥

25

3π

成立；
…，
归纳可得在n边形A₁A₂…A_n（n≥3，n∈N^*）中，不等式有

1

A1

+

1

A2

+…+

1

An

≥

n2

(n-2)π

成立，
故答案为：

n2

(n-2)π

点评：归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．