Question

设锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，

3

a=2bsinA．
（1）求角B的大小；
（2）若a+c=4，求AC边上中线长的最小值．

Answer 1

考点：正弦定理,余弦定理

专题：解三角形

分析：（1）在锐角△ABC中，由条件利用正弦定理求得sinB的值，即可求得B的值．
（2）设AC边上的中点为E，由余弦定理得，BE²=

a2+c2+ac

4

，再根据a+c=4，化简得BE²=4-

1

4

ac，再利用基本不等式的性质求出最值．

解答： 解：（1）在锐角△ABC中，

3

a=2bsinA．
由正弦定理得

3

sinA=2sinBsinA，
所以sinB=

3

2

，
因为三角形ABC为锐角三角形，所以B=

π

3

．
（2）设AC边上的中点为E，由余弦定理得，
BE²=

2(AB2+BC2)-AC2

4

=

a2+c2+ac

4

，
∴BE²=

1

4

[（a+c）²-ac]=

1

4

（16-ac）=4-

1

4

ac≥4-

1

4

（

a+c

2

）²=3，当且仅当a=c=2时取等号，
AC边上中线长的最小值

3

．

点评：本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用以及基本不等式的性质，属于中档题．