Question

在△AOB的边OA、OB上分别有一点P、Q，已知OP：PA=1：2，OQ：QB=3：2，连结AQ、BP，设它们交于R点，若

OA

=

a

，

OB

=

b

，设

OR

=λ

a

+μ

b

，试求出λ和μ的值．

Answer 1

考点：平面向量的基本定理及其意义

专题：平面向量及应用

分析：想办法用

a

，

b

表示

OR

，通过观察图形，可以发现有两种表示方式，根据向量的加法：一种是，

OR

=

OA

+

AR

，

AR

和

AQ

共线，所以存在实数x使

AR

=x

AQ

=x(

3

5

b

-

a

)，带入并整理得：

OR

=

x

3

a

+(1-x)

b

；一种是

OR

=

OB

+

BR

，同样的办法可求得

OR

=(1-y)

a

+

3y

5

b

，这时候可以建立关于x，y的方程组，解出x，y即可求出λ，μ．

解答： 解：∵

AR

和

AQ

共线，∴存在实数x使

AR

=x

AQ

，同样，存在实数y使

BR

=y

BP

；

OR

=

OB

+

BP

=

OB

+x

BP

=

b

+x(

1

3

a

-

b

)=

x

3

a

+(1-x)

b

；

OR

=

OA

+

AR

=

OA

+y

AQ

a

+y(

3

5

b

-

a

)=(1-y)

a

+

3y

5

b

；
∴

x

3

a

+(1-x)

b

=(1-y)

a

+

3y

5

b

；
∵

a

，

b

不共线；
∴

x 3 =1-y 1-x= 3 5 y

，解得x=

1

2

，y=

5

6

；
∴

OR

=

1

6

a

+

1

2

b

；
∴λ=

1

6

，μ=

1

2

．

点评：考查向量的加法运算，共线向量基本定理，共面向量基本定理，用两种方式表示

OR

是求解本题的关键．