Question

已知函数f（x）=|x|．
（1）解关于x不等式f（x-1）≤a（a∈R）；
（2）若不等式f（x+1）+f（2x）≤

1

a

+

1

1-a

对任意a∈（0，1）恒成立，求x的取值范围．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）不等式可化为：|x-1|≤a，对a分类讨论，求得它的解集．
（2）利用基本不等式求得

1

a

+

1

1-a

的最小值为4，问题等价于|x+1|+|2x|≤4．去掉绝对值，转化为与之等价的三个不等式组，分别求得每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．

解答： （1）不等式可化为：|x-1|≤a，
当a＞0时，解集为{x1-a≤x≤1+a}；
当a=0时，解集为{x|x=1}；
当a＜0时，解集为∅．
（2）由f（x+1）+f（2x）≤

1

a

+

1

1-a

得：|x+1|+|2x|≤

1

a

+

1

1-a

．
∵0＜a＜1，∴0＜1-a＜1，
∴

1

a

+

1

1-a

=

1

a(1-a)

≥

1

[ a+(1-a) 2 ]2

=4，当且仅当a=1-a，即a=

1

2

时取“=”．
∴问题等价于|x+1|+|2x|≤4，
∴

x≤-1 -3x-1≤4

 ①，或

-1≤x＜0 1-x≤4

②，或

x＞0 3x+1≤4

．
解得-

5

3

≤x≤1，即x的取值范围是{x|-

5

3

≤x≤1}．

点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，基本不等式的应用，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于基础题．