Question

设抛物线C：y²=4x的焦点为F，直线l过F且与C交于A，B两点，若|AF|=3|BF|，则|AB|等于（　　）

• A、

  5

  2

• B、

  16

  3

• C、3
• D、

  17

  2

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：根据题意，可得抛物线焦点为F（1，0），由此设直线l方程为y=k（x-1），与抛物线方程联解消去x，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由根与系数的关系和|AF|=3|BF|，建立关于y₁、y₂和k的方程组，解之可得k值，即可求出|AB|．

解答： 解：∵抛物线C方程为y²=4x，可得它的焦点为F（1，0），
∴设直线l方程为y=k（x-1）
代入抛物线方程消去x，得

k

4

y2-y-k=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
可得y₁+y₂=

4

k

，y₁y₂=-4…（*）
∵|AF|=3|BF|，
∴y₁+3y₂=0，可得y₁=-3y₂，代入（*）得-2y₂=

4

k

且-3y₂²=-4，
消去y₂得k²=3，解之得k=±

3

∴|AB|=

1+ 1 3

×

16 3 +16

=

16

3

．
故选：B．

点评：本题给出抛物线的焦点弦AB被焦点F分成1：3的两部分，求|AB|，着重考查了抛物线的标准方程、简单几何性质和直线与圆锥曲线的位置关系等知识，属于中档题．