Question

锐角三角形ABC中，若A=2B，则下列叙述正确的是（　　）
①sin3B=sin2C；  
②tan

3B

2

tan

C

2

=1； 
③

π

6

＜B＜

π

4

； 
④

a

b

∈（

2

，

3

]．

• A、①②
• B、②③
• C、③④
• D、④①

Answer 1

考点：同角三角函数基本关系的运用,正弦定理

专题：解三角形

分析：依题意，可得C=π-3B，利用二倍角的正弦、诱导公式、锐角三角形的性质及正弦定理与余弦函数的性质对①②③④四个选项逐一分析即可．

解答： 解：∵锐角三角形ABC中，A=2B，
∴C=π-（B+2B）=π-3B，
∴sinC=sin（π-3B）=sin3B，故①错误；
∴tan

3B

2

tan

C

2

=tan

π-C

2

tan

C

2

=cot

C

2

tan

C

2

=1，故②正确；
又△ABC为锐角三角形，
∴

0＜B＜ π 2 0＜2B＜ π 2 0＜π-3B＜ π 2

，解得：

π

6

＜B＜

π

4

，故③正确； 
∵

π

6

＜B＜

π

4

，∴

2

2

＜cosB＜

3

2

由正弦定理可得，

a

b

=

sin2B

sinB

=2cosB∈（

2

，

3

），故④错误；
综上所述，叙述正确的是②③，
故选：B．

点评：本题考查同角三角函数基本关系的运用，考查二倍角公式与诱导公式及正弦定理的应用，属于中档题．