Question

已知函数f（x）的定义域[-1，5]，部分对应值如表，f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示，下列关于函数f（x）的命题其中错误的是（　　）

x	-1	0	2	4	5
f （x）	1	2	1.5	2	1

• A、函数f（x）的值域为[1，2]
• B、函数f（x）在[0，2]上是减函数
• C、如果当x∈[-1，t]时，f（x）的最大值是2，那么t的最大值为4
• D、当1＜a＜2时，函数y=f（x）-a最多有4个零点

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：由导函数的图象得到原函数的单调区间；求得极值后结合端点值求得函数的值域；由函数定义域与值域的关系判断C错误；由函数y=f（x）与函数y=a（1＜a＜2）的交点情况说明选项D正确．

解答： 解：由导函数图象可知，
函数f（x）的增区间为[-1，0]，（2，4]；
减区间为（0，2]，（4，5]．
∴函数有两个极大值，分别为f（0）=2，f（4）=2．
有一个极小值，为f（2）=1.5．
又f（-1）=1，f（5）=1，
∴函数f（x）的值域为[1，2]，选项A正确；
函数f（x）在[0，2]上是减函数，选项B正确；
如果当x∈[-1，t]时，f（x）的最大值是2，那么t的最大值为5，
∴选项C错误；
∵函数y=f（x）与函数y=a（1＜a＜2）最多有4个交点，
∴当1＜a＜2时，函数y=f（x）-a最多有4个零点．
∴选项D正确．
故选：C．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了导函数的符号与原函数单调性间的关系，考查了函数零点的判断方法，是中档题．