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已知二次函数y=g(x)的导函数的图象与直线y=2x平行,且y=g(x)在x=-1处取得极小值m-1(m≠0).设f(x)=
g(x)
x

(1)若曲线y=f(x)上的点P到点Q(0,2)的距离的最小值为
2
,求m的值;
(2)k(k∈R)如何取值时,函数y=f(x)-kx存在零点,并求出零点.
(1)依题可设g(x)=a(x+1)2+m-1(a≠0),则g'(x)=2a(x+1)=2ax+2a;
又g'(x)的图象与直线y=2x平行∴2a=2∴a=1
∴g(x)=(x+1)2+m-1=x2+2x+m,f(x)=
g(x)
x
=x+
m
x
+2

设P(xo,yo),则|PQ|2=
x20
+(y0-2)2=
x20
+(x0+
m
x0
)2
=2
x20
+
m2
x20
+2m≥2
2m2
+2m=2
2
|m|+2m

当且仅当2
x20
=
m2
x20
时,|PQ|2取得最小值,即|PQ|取得最小值
2

当m>0时,
(2
2
+2)m
=
2
解得m=
2
-1

当m<0时,
(-2
2
+2)m
=
2
解得m=-
2
-1


(2)由y=f(x)-kx=(1-k)x+
m
x
+2=0
(x≠0),得(1-k)x2+2x+m=0(*)
当k=1时,方程(*)有一解x=-
m
2
,函数y=f(x)-kx有一零点x=-
m
2

当k≠1时,方程(*)有二解?△=4-4m(1-k)>0,
若m>0,k>1-
1
m

函数y=f(x)-kx有两个零点x=
-2±
4-4m(1-k)
2(1-k)
,即x=
1-m(1-k)
k-1

若m<0,k<1-
1
m

函数y=f(x)-kx有两个零点x=
-2±
4-4m(1-k)
2(1-k)
,即x=
1-m(1-k)
k-1

当k≠1时,方程(*)有一解?△=4-4m(1-k)=0,k=1-
1
m

函数y=f(x)-kx有一零点x=
1
k-1
=-m

综上,当k=1时,函数y=f(x)-kx有一零点x=-
m
2

k>1-
1
m
(m>0),或k<1-
1
m
(m<0)时,
函数y=f(x)-kx有两个零点x=
1-m(1-k)
k-1

k=1-
1
m
时,函数y=f(x)-kx有一零点x=
1
k-1
=-m
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2
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