Question

如图，在五面体ABCDEF中，点O是矩形ABCD的对角线的交点，△ABF、△CDE是等边三角形，CD=1，EF=BC=1，EF//BC，M为EF的中点．

(1)证明MO⊥平面ABCD
(2)求二面角E—CD—A的余弦值
(3)求点A到平面CDE的距离

Answer 1

（1）见解析（2）（3）

（1）证明：取AB，CD的中点为P，Q。
连结PQ，EQ，FP。
则P，O，Q三点共线
且PQ//BC又因为EF//BC所以有EF//PQ且FP=EQ。所以EFPQ为等腰梯形。
所以有MO^PQ，CD ^EQ
CD^PQ，PQÇCQ=Q
所以CD^平面EFPQ
所以CD^MO，又CD和PQ相交，
所以有MO^面ABCD¼
（2）由（1）可知ÐEQP为二面角E-CD-A的平面角
过E点作EN^PQ于点N，则N为OQ的中点。
cosÐEQP= 
（3）因为AB//平面CDE
所以P点到平面CDE的距离等于A点到平面CDE的距离。过
点P作PH^EQ于点H，则PH^CD，又CD交EQ于Q。
所以PH^平面CDE。
所以PH的长为点P到平面CDE的距离。
由cosÐEQP=得，
PH=PQsinÐEQP=