Question

正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，棱长为，M为正方形DCC₁D₁的中心，E、F分别为A₁D₁、BC的中点
（1）求证：AM⊥平面B₁FDE；
（2）求点A到平面EDFB₁的距离；
（3）求二面角A-DE-F的大小。
 

Answer 1

（1）见解析（2）(3)

（1）证明：连接AM，过M作MG⊥CD于G，连接AG
∵正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，MG⊥CD
∴MG⊥平面ABCD
又∵M为正方形DCC₁D₁的中心，MG⊥CD
∴G为CD中点
在正方形ABCD中，F为CB中点 ∴CF=DG
又∵AD="DC     " ∠DCF=∠ADG=Rt∠
∴△ADG≌△DCF    ∴∠AGD=∠DFC    ∴AG⊥DF
由MG⊥平面ABCD，AG⊥DF可得AM⊥DF，
同理可得AM⊥DE
∴AM⊥平面B₁FDE
（2）设A到平面DEB₁F的距离为
∵E到平面ADF的距离为
∴  ∴
又∵    


∴              
（3）过F作FP⊥AD于P，过P作PQ⊥DE于Q，连接FQ
∵FP⊥平面DEP，PQ⊥DE
∴FQ⊥DE
∴∠FQP为二面角A-DE-F的平面角
∵
∴
在R t△FPQ中     
∴二面角A-DE-F的大小为