Question

在直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，∠ABC=90°，M、N分别为BB₁、A₁C₁的中点。
（Ⅰ）求证：AB⊥CB₁；
（Ⅱ）求证：MN//平面ABC₁。

 

Answer 1

见解析

（1）在直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，
侧面BB₁C₁C⊥底面ABC，且侧面BB₁C₁C∩底面ABC=BC，
∵∠ABC=90°，即AB⊥BC，
∴AB⊥平面BB₁C_­1C                                       
∵CB₁平面BB₁C₁C，
∴AB⊥CB₁.                                             
（2）证法一
取AA₁的中点E，连NE、ME，
∵在△AA₁C_­1中，N、E是中点，
∴NE//AC

又∵M、E分别是BB₁、AA₁的中点，            
∴ME//BA，
又∵AB∩AC₁=A，
∴平面MNE//平面ABC₁，
而MN平面MNE，
∴MN//ABC₁.
证法二
取AC₁的中点F，连BF、NF
在△AA₁C₁中，N、F是中点，
∴NFAA₁，
又∵BMAA₁，
∴EFBM，
故四边形BMNF是平行四边形，
∴MN//BF，………………10分
而EF面ABC₁，MN平面ABC₁，∴MN//面ABC₁.