Question

12．我们把满足：${x_{n+1}}={x_n}-\frac{{f（{x_n}）}}{{f'（{x_n}）}}$的数列{x_n}叫做牛顿数列．已知函数f（x）=x²-1，数列{x_n}为牛顿数列，设${a_n}=ln\frac{{{x_n}-1}}{{{x_n}+1}}$，已知a₁=2，则a₃=8．

Answer 1

分析 依题意，可求得${a}_{n+1}=ln\frac{{x}_{n+1}-1}{{x}_{n+1}+1}$=ln$\frac{\frac{1}{2}{（x}_{n}+\frac{1}{{x}_{n}}）-1}{\frac{1}{2}{（x}_{n}+\frac{1}{{x}_{n}}）+1}$=ln$\frac{{{（x}_{n}-1）}^{2}}{{{（x}_{n}+1）}^{2}}$=2$ln\frac{{x}_{n}-1}{{x}_{n}+1}$=2a_n，即数列{a_n}是以2为公比的等比数列，又a₁=2，利用等比数列的通项公式即可求得答案．

解答 解：∵f（x）=x²-1，数列{x_n}为牛顿数列，
∴${x_{n+1}}={x_n}-\frac{{f（{x_n}）}}{{f'（{x_n}）}}$=x_n-$\frac{{{x}_{n}}^{2}-1}{{2x}_{n}}$=$\frac{1}{2}$（x_n+$\frac{1}{{x}_{n}}$），
∴${a}_{n+1}=ln\frac{{x}_{n+1}-1}{{x}_{n+1}+1}$=ln$\frac{\frac{1}{2}{（x}_{n}+\frac{1}{{x}_{n}}）-1}{\frac{1}{2}{（x}_{n}+\frac{1}{{x}_{n}}）+1}$=ln$\frac{{{（x}_{n}-1）}^{2}}{{{（x}_{n}+1）}^{2}}$=2$ln\frac{{x}_{n}-1}{{x}_{n}+1}$=2a_n，
又a₁=2，
∴数列{a_n}是以2为首项，2为公比的等比数列，
∴a₃=2×2²=8．
故答案为：8．

点评 本题考查数列递推式，求得数列{a_n}是以2为首项，2为公比的等比数列是关键，也是难点，考查推理与运算能力，属于难题．