Question

如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB=AC，∠BAC为直角，D，E分别为BC，AC的中点，AB=2PA．
（1）BC上是否存在一点F，使AD∥平面PEF？请说明理由；
（2）对于（1）中的点F，求AF与平面PEF所成角的正弦值．

Answer 1

解：（1）取CD的中点F，连接EF、PF
∵△ACD中，E、F分别为AC、CD的中点，
∴EF∥AD，且EF=AD
∵EF⊆平面PEF，AD?平面PEF，
∴AD∥平面PEF，
所以存在CD的中点F，使AD∥平面PEF．
（2）设PA=1，则AB=AC=2
∵△ABC是以BC为斜边的直角三角形，AD是BC边的中线
∴BC=，且AD=BD=CD=BC=
Rt△ADF中，DF=CD=，可得AF==
∵PA⊥平面ABC，AF⊆平面ABC，
∴PA⊥AF，可得Rt△PAF中，PF==
同理可得Rt△PAE中，PE==
∴△PEF中，EF=AD=，可得cos∠EPF==

由同角三角函数关系，得sin∠EPF==
∴△EPF的面积S_△EPF=PE•PFsin∠EPF=×××=
∵△EAF的面积S_△EAF=S_△ADC=
∴三棱锥P-AEF的体积V=×S_△EAF×PA=
设A到平面PEF的距离为d，则V_A-PEF=×S_△EPF×d=
即d=，可得d=
所以AF与平面PEF所成角θ满足sinθ==
∴AF与平面PEF所成角的正弦值等于
分析：（1）取CD的中点F，连接EF、PF，由三角形中位线定理，可得EF∥AD，再由线面平行的判定定理，可得AD∥平面PEF．
（2）设PA=1，则AB=AC=2，利用线面垂直的性质结合勾股定理，得到△PEF的各边长，再用正余弦定理算出其面积S_△PEF=．设A到平面PEF的距离为d，利用三棱锥的体积进行转换，即得d=，最后根据线面所成角的性质，得到AF与平面PEF所成角θ满足sinθ==，从而得到答案．
点评：本题给出底面是等腰直角三角形且一条侧棱与底面垂直的三棱锥，证明线面平行并求线面所成的角，着重考查了线面平行、垂直的判定与性质和直线与平面所成角等知识，属于中档题．