Question

2．已知函数f（x）=|x-1|+|x-m|
（Ⅰ）当m=2时，求不等式f（x）＞4的解集；
（Ⅱ）当m＞1时，若f（x）＞4的解集是{x|x＜0或x＞4}，且关于x的不等式f（x）＜a有解，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （I）讨论x的范围，去绝对值符号解不等式；
（II）判断f（x）的单调性，利用单调性列方程组解出m．

解答 解：（Ⅰ）当m=2时，由不等式f（x）＞4得|x-1|+|x-2|＞4，
∴$\left\{\begin{array}{l}x≤1\\ 3-2x＞4\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}1＜x＜2\\ 1＞4\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}x≥2\\ 2x-3＞4\end{array}\right.$，
解得$x＜-\frac{1}{2}$或$x＞\frac{7}{2}$，
∴原不等式的解集为$（{-∞，-\frac{1}{2}}）∪（{\frac{7}{2}，+∞}）$．
（Ⅱ）当m＞1时，$f（x）=\left\{\begin{array}{l}-2x+m+1，x＜1\\ m-1，1≤x≤m\\ 2x-m-1，x＞m\end{array}\right.$，
∴f（x）在（-∞，1）上单调递减，在（1，m）上为常数函数，在（m，+∞）上单调递增，
∵f（x）＞4的解集是{x|x＜0或x＞4}，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（0）=4}\\{f（4）=4}\\{4≥m}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{m+1=4}\\{7-m=4}\\{m≤4}\end{array}\right.$，解得m=3．

点评 本题考查了含绝对值不等式的解法，分段函数的单调性应用，属于中档题．