Question

3．正方体中，M、N分别是A₁D₁、DC的中点，
（1）求MN与面A₁BC₁所成角的正弦值；
（2）MN与BC₁所成角；
（3）二面角A-B₁D₁-C的余弦值．

Answer 1

分析 （1）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法即可求MN与面A₁BC₁所成角的正弦值；
（2）求出MN与BC₁对应向量坐标，利用向量法即可求直线之间的夹角；
（3）求出平面的法向量，利用向量法即可二面角A-B₁D₁-C的余弦值．

解答 解：（1）建立以D为坐标原点的空间直角坐标系如图，
设正方体的棱长为1，
则A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），D₁（0，0，1），
A₁（1，0，1），B₁（1，1，1），C₁（0，1，1）
M（$\frac{1}{2}$，0，1），N（0，$\frac{1}{2}$，0），
在正方体中，OB₁⊥面A₁BC₁，
∴$\overrightarrow{O{B}_{1}}$=（1，1，1）为平面A₁BC₁的法向量，
$\overrightarrow{MN}$=（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$，1），|$\overrightarrow{MN}$|=$\frac{\sqrt{6}}{2}$
则MN与面A₁BC₁所成角的正弦值sinθ=|cos＜$\overrightarrow{O{B}_{1}}$，$\overrightarrow{MN}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{O{B}_{1}}•\overrightarrow{MN}|}{|\overrightarrow{O{B}_{1}}||\overrightarrow{MN}|}$=|$\frac{-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+1}{\sqrt{3}•\frac{\sqrt{6}}{2}}$|=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，
（2）$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=（-1，0，1），
则|$\overrightarrow{B{C}_{1}}$|=$\sqrt{2}$，$\overrightarrow{B{C}_{1}}$•$\overrightarrow{MN}$=$\frac{1}{2}+1=\frac{3}{2}$，
则cos＜$\overrightarrow{B{C}_{1}}$，$\overrightarrow{MN}$＞=$\frac{\overrightarrow{B{C}_{1}}•\overrightarrow{MN}}{|\overrightarrow{B{C}_{1}}||\overrightarrow{MN}|}$=$\frac{\frac{3}{2}}{\sqrt{2}×\frac{\sqrt{6}}{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$
即＜$\overrightarrow{B{C}_{1}}$，$\overrightarrow{MN}$＞=$\frac{π}{6}$，
即MN与BC₁所成角为$\frac{π}{6}$；
（3）$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（0，1，1），$\overrightarrow{{B}_{1}{D}_{1}}$=（-1，-1，0），$\overrightarrow{C{D}_{1}}$=（0，-1，1），
设平面AB₁D₁的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{A{B}_{1}}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{{B}_{1}{D}_{1}}=0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{y+z=0}\\{-x-y=0}\end{array}\right.$，令x=1，则y=-1，z=1，
故$\overrightarrow{m}$=（1，-1，1），
设平面CB₁D₁的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{B}_{1}{D}_{1}}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{C{D}_{1}}=0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{-x-y=0}\\{-y+z=0}\end{array}\right.$，令x=1，则y=-1，z=-1，
故$\overrightarrow{n}$=（1，-1，-1），
则cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{3}×\sqrt{3}}=\frac{1}{3}$，
故平面二面角A-B₁D₁-C的余弦值为$\frac{1}{3}$．

点评 本题主要考查空间角的求解，建立坐标系，利用向量法是解决空间角的常用方法．