Question

4．已知抛物线y²=4x和点M（6，0），O为坐标原点，直线l过点M，且与抛物线交于A，B两点．
（1）求$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$；
（2）若△OAB的面积等于12$\sqrt{10}$，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）由x=my+6与抛物线y²=4x得y²-4my-24=0，利用$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂，求$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$；
（2）S_△OAB=$\frac{1}{2}$|OM|•|y₁-y₂|=3$\sqrt{16{m}^{2}+96}$=12$\sqrt{{m}^{2}+6}$=12$\sqrt{10}$，求出m，即可求直线l的方程．

解答 解：（1）设直线l的方程为x=my+6，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由x=my+6与抛物线y²=4x得y²-4my-24=0，显然△＞0，
y₁+y₂=4m，y₁y₂=-24，x₁x₂=36
可得$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=12．…（6分）
（2）S_△OAB=$\frac{1}{2}$|OM|•|y₁-y₂|=3$\sqrt{16{m}^{2}+96}$=12$\sqrt{{m}^{2}+6}$=12$\sqrt{10}$，
∴m²=4，m=±2．
那么直线l的方程为x+2y-6=0和x-2y-6=0…（12分）

点评 本题考查直线与抛物线的位置关系，考查向量知识的运用，考查三角形面积的计算，正确运用韦达定理是关键．