Question

20．若sin（3π-α）=$\sqrt{2}$sin（2π+β），$\sqrt{3}$cos（-α）=-$\sqrt{2}$cos（π+β），且0＜α＜β＜π，则sinα•sinβ=$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

Answer 1

分析 由条件应用诱导公式化简条件，再利用同角三角函数的基本关系求得要求式子的值．

解答 解：∵sin（3π-α）=$\sqrt{2}$sin（2π+β），∴sinα=$\sqrt{2}$•sinβ；
∵$\sqrt{3}$cos（-α）=-$\sqrt{2}$cos（π+β），∴$\sqrt{3}$cosα=$\sqrt{2}$cosβ，∴cosα=$\sqrt{\frac{2}{3}}$cosβ，
又 0＜α＜β＜π，∴α、β都是锐角．
再根据sin²α+cos²α=2sin²β+$\frac{2}{3}$cos²β=$\frac{2}{3}$+$\frac{4}{2}$sin²β=1，求得sinβ=$\frac{1}{2}$，
∴sinα=$\sqrt{2}$•sinβ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴sinα•sinβ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$•$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
故答案为：$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

点评 本题主要考查应用诱导公式化简三角函数式，同角三角函数的基本关系，属于基础题．