Question

12．设a，b都为正实数且a+b=1，则$\frac{a^2}{a+1}+\frac{b^2}{b+2}$的最小值为$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 换元可化问题为正数s+t=4，求$\frac{1}{s}$+$\frac{4}{t}$-2的最小值，代入由基本不等式可得．

解答 解：令a+1=s，b+2=t，则a=s-1，b=t-2，
由题意可得s，t为正数且s-1+t-2=1，即s+t=4，
∴$\frac{a^2}{a+1}+\frac{b^2}{b+2}$=$\frac{（s-1）^{2}}{s}$+$\frac{（t-2）^{2}}{t}$
=s-2+$\frac{1}{s}$+t-4+$\frac{4}{t}$=$\frac{1}{s}$+$\frac{4}{t}$-2=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{s}$+$\frac{4}{t}$）（s+t）-2
=$\frac{1}{4}$（5+$\frac{t}{s}$+$\frac{4s}{t}$）-2≥$\frac{1}{4}$（5+2$\sqrt{\frac{t}{s}•\frac{4s}{t}}$）-2=$\frac{1}{4}$
当且仅当$\frac{t}{s}$=$\frac{4s}{t}$即s=$\frac{4}{3}$且t=$\frac{8}{3}$即a=$\frac{1}{3}$且b=$\frac{2}{3}$时取等号．
故答案为：$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查基本不等式求最值，换元并变形为可用基本不等式的形式是解决问题的关键，属基础题．