Question

某地发生地质灾害，使当地的自来水受到了污染，某部门对水质检测后，决定往水中投放一种药剂来净化水质．已知每投放质量为m的药剂后，经过x天该药剂在水中释放的浓度y（毫克/升） 满足y=mf（x），其中f（x）=

x2 16 +2(0＜x≤4) x+14 2x-2   (x＞4)

，当药剂在水中释放的浓度不低于4（毫克/升） 时称为有效净化；当药剂在水中释放的浓度不低于4（毫克/升） 且不高于10（毫克/升）时称为最佳净化．
（1）如果投放的药剂质量为m=4，试问自来水达到有效净化一共可持续几天？
（2）如果投放的药剂质量为m，为了使在7天（从投放药剂算起包括7天）之内的自来水达到最佳净化，试确定应该投放的药剂质量m的最小值．

Answer 1

考点：分段函数的应用

专题：计算题,应用题,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（1）由题意，写出y=4f（x）=

x2 4 +8(0＜x≤4) 2x+28 x-1 (x＞4)

，再对每一段考虑大于等于4，解出x的范围，求并集即可；
（2）由y=m•f（x）=

mx2 16 +2m (0＜x≤4) m(x+14) 2x-2 (x＞4)

，确定各段的单调性，求出值域，再求并集，为使4≤y≤10恒成立，则4≤y_min，且10≥y_max即可．

解答： 解：（1）由题意，当药剂质量为m=4，所以y=4f（x）=

x2 4 +8(0＜x≤4) 2x+28 x-1 (x＞4)

，
当0＜x≤4时

x2

4

+8≥4，显然符合题意．
当x＞4时

2x+28

x-1

≥4，解得4＜x≤16，
综上0＜x≤16．
所以自来水达到有效净化一共可持续16天．
（2）由y=m•f（x）=

mx2 16 +2m (0＜x≤4) m(x+14) 2x-2 (x＞4)

，得
在区间（0，4]上单调递增，即2m＜y≤3m；
在区间（4，7]上单调递减，即

7m

4

≤y＜3m，
综上

7m

4

≤y≤3m，
为使4≤y≤10恒成立，只要

7m

4

≥4且3m≤10即可，
即

16

7

≤m≤

10

3

．
所以应该投放的药剂质量m的最小值为

16

7

．

点评：本题考查分段函数的应用，考查函数的单调性及应用：求值域，注意函数的各段解析式，属于中档题．