Question

已知函数f（x）=（x²+ax-2a²+3a）e^x（x∈R），其中a∈R．
（1）当a=0时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率；
（2）当a≠

2

3

时，求函数y=f（x）的单调区间与极值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的概念及应用

分析：（1）抓住两点①切点是公共点，代入曲线方程求出f（1）的值；②切点处的导数是切点的斜率．
（2）先求导数，令导数等于零找到所有可能的极值点，再通过列表法具体判断，注意对极值点大小的讨论．

解答： 解：（1）当a=0时，f（x）=x²e^x，f′（x）=（x²+2x）e^x，故f′（1）=3e．
所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为3e．
（2）f′（x）=[x²+（a+2）x-2a²+4a]e^x=（x+2a）•[x-（a-2）]e^x，
令f′（x）=0，解得x=-2a，或x=a-2，
由a≠

2

3

知，-2a≠a-2．
以下分两种情况讨论：
①若a＞

2

3

，则-2a＜a-2，当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

x	（-∞，-2a）	-2a	（-2a，a-2）	a-2	（a-2，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↑	极大值	↓	极小值	↑

所以f（x）在（-∞，-2a），（a-2，+∞）上是增函数，在（-2a，a-2）上是减函数．
函数f（x）在x=-2a处取得极大值为f（-2a），且f（-2a）=3ae^-2a．
函数f（x）在x=a-2处取得极小值为f（a-2），且f（a-2）=（4-3a）e^a-2．
②若a＜

2

3

，则-2a＞a-2，当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

x	（-∞，a-2）	a-2	（a-2，-2a）	-2a	（-2a，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↑	极大值	↓	极小值	↑

所以f（x）在（-∞，a-2），（-2a，+∞）上是增函数，在（a-2，-2a）上是减函数．
函数f（x）在x=a-2处取得极大值f（a-2），且f（a-2）=（4-3a）e^a-2．
函数f（x）在x=-2a处取得极小值f（-2a），且f（-2a）=3ae^-2a．

点评：切线问题是高考的热点，难度不大，只要抓住切点满足的两个条件，一般都能解决问题；第二问研究极值点一般要列表来解决问题．