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    【题目】在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

    （1）求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；

    （2）求曲线与交点的极坐标.

    【答案】（1）；（2），，，

    【解析】

    （1）由曲线的参数方程通过将两个式子两边分别平方再相减可消去参数，得到曲线的普通方程，再由公式化为极坐标方程即可.对于曲线利用公式直接化为直角坐标方程即可.

    （2）把曲线的极坐标方程和曲线的极坐标联立即可求得交点的极坐标.

    （1）由题意，将与-两式平方相减可得.因为所以，

    即曲线的极坐标方程为.

    将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程为.

    （2）由题意得，故，

    所以或或或，即或或或.

    所以两曲线交点的极坐标为，，，.

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    【题目】如图1，，点为线段的中点，点为线段上靠近的三等分点.现沿进行翻折，得到四棱锥，如图2，且.在图2中：

    （1）求证：平面；

    （2）求直线与平面所成角的正弦值.

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    【题目】某省从2021年开始，高考采用取消文理分科，实行“”的模式，其中的“1”表示每位学生必须从物理、历史中选择一个科目且只能选择一个科目.某校高一年级有2000名学生（其中女生900人）.该校为了解高一年级学生对“1”的选课情况，采用分层抽样的方法抽取了200名学生进行问卷调查，下表是根据调查结果得到的列联表.

    性别

    选择物理

    选择历史

    总计

    男生

    ________

    50

    女生

    30

    ________

    总计

    ________

    ________

    200

    （1）求，的值；

    （2）请你依据该列联表判断是否有99.5%的把握认为选择科目与性别有关？说明你的理由.

    0.100

    0.050

    0.025

    0.010

    0.005

    0.001/span>

    2.706

    3.841

    5.024

    6.635

    7.879

    10.828

    附：，其中.

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    【题目】武汉市掀起了轰轰烈烈的“十日大会战”，要在10天之内，对武汉市民做一次全员检测，彻底摸清武汉市的详细情况.某医院为筛查冠状病毒，需要检验血液是否为阳性，现有份血液样本，有以下两种检验方式：

    方案①：将每个人的血分别化验，这时需要验1000次.

    方案②：按个人一组进行随机分组，把从每组个人抽来的血混合在一起进行检验，如果每个人的血均为阴性，则验出的结果呈阴性，这个人的血就只需检验一次(这时认为每个人的血化验次)；否则，若呈阳性，则需对这个人的血样再分别进行一次化验这样，该组个人的血总共需要化验次. 假设此次检验中每个人的血样化验呈阳性的概率为，且这些人之间的试验反应相互独立.

    （1）设方案②中，某组个人中每个人的血化验次数为，求的分布列；

    （2）设. 试比较方案②中，分别取2,3,4时，各需化验的平均总次数；并指出在这三种分组情况下，相比方案①，化验次数最多可以减少多少次？(最后结果四舍五入保留整数)

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】已知函数．

    （1）求的单调递增区间；

    （2）求证：曲线在区间上有且只有一条斜率为2的切线．

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    【题目】的内角的对边分别为，且.

    （1）求；

    （2）若，是上的点，平分，求的面积.

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    【题目】（在花卉进行硬枝扦插过程中，常需要用生根粉调节植物根系生长.现有20株使用了生根粉的花卉，在对最终“花卉存活”和“花卉死亡”进行统计的同时，也对在使用生根粉2个小时后的生根量进行了统计，这20株花卉生根量如下表所示，其中生根量在6根以下的视为“不足量”，大于等于6根为“足量”.现对该20株花卉样本进行统计，其中“花卉存活”的13株.已知“花卉存活”但生根量“不足量”的植株共1株.

    编号

    01

    02

    03

    04

    05

    06

    07

    08

    09

    10

    11

    12

    13

    14

    15

    16

    17

    18

    19

    20

    生根量

    6

    8

    3

    8

    9

    5

    6

    6

    2

    7

    7

    5

    9

    6

    7

    8

    8

    4

    6

    9

    （1）完成列联表，并判断是否可以在犯错误概率不超过1%的前提下，认为“花卉的存活”与“生根足量”有关？

    生根足量

    生根不足量

    总计

    花卉存活

    花卉死亡

    总计

    20

    （2）若在该样本“生根不足量”的植株中随机抽取3株，求这3株中恰有1株“花卉存活”的概率.

    参考数据：

    独立性检验中的，其中.

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    【题目】已知椭圆，过点作互相垂直的两条直线分别交椭圆于点（与不重合）.

    （1）证明：直线过定点；

    （2）若以点为圆心的圆与直线相切，且切点为线段的中点，求四边形的面积.

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    【题目】“扶贫帮困”是中华民族的传统美德，某大型企业为帮扶贫困职工，设立“扶贫帮困基金”，采用如下方式进行一次募捐：在不透明的箱子中放入大小均相同的白球六个，红球三个，每位献爱心的参与者投币100元有一次摸奖机会，一次性从箱中摸球三个（摸完球后将球放回），若有一个红球，奖金20元，两个红球奖金40元，三个全为红球奖金200元.

    （1）求一位献爱心参与者不能获奖的概率；

    （2）若该次募捐有300位献爱心参与者，求此次募捐所得善款的数学期望.

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