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    【题目】已知函数．

    （1）求的单调递增区间；

    （2）求证：曲线在区间上有且只有一条斜率为2的切线．

    【答案】（1），（2）见解析

    【解析】

    （1）根据函数解析式，求得导函数，令即可求得的单调递增区间；

    （2）曲线在区间上有且只有一条斜率为2的切线，等价于在区间上方程有唯一解，构造函数，求得导函数，并判断的符号，确定的单调性与极值，从而判断出在上存在唯一一个零点，即可证明结论.

    （1）函数,，

    则，

    令得，，

    ∴单调递增区间为，

    （2）原命题等价于：在区间上，方程有唯一解，

    设，

    则

    此时，，，变化情况如下：

    0

    极大值

    此时，在上单调递增，且，，

    在上单调递减，且，

    ∴在上存在唯一一个根，

    在上存在唯一一个零点，

    ∴曲线在区间上有且仅有一条斜率为2的切线.

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    （2）已知平面，，点到平面的距离为1，四棱锥的体积为，求．

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