Question

在平面直角坐标系xOy中，线性变换σ将点（1，0）变换为（1，0），将点（0，1）变换为（1，2）．
（Ⅰ）试写出线性变换σ对应的二阶矩阵A；
（Ⅱ）求矩阵A的特征值及属于相应特征值的一个特征向量．

Answer 1

考点：变换、矩阵的相等,特征值、特征向量的应用

专题：选作题,矩阵和变换

分析：（Ⅰ）利用待定系数法，可求线性变换σ对应的二阶矩阵A
（Ⅱ）根据特征值的定义列出特征多项式，令f（λ）=0解方程可得特征值，再由特征值列出方程组即可解得相应的特征向量．

解答： 解：（Ⅰ）设A=

a b c d

，则

a b c d

1 0

=

a c

=

1 0

，

a b c d

1 2

=

b d

=

1 2

，
∴a=b=1，c=0，d=2，
∴A=

1 1 0 2

；
（Ⅱ）矩阵M的特征多项式为f（λ）=（λ-1）（λ-2），
令f（λ）=0，可求得特征值为λ₁=1，λ₂=2，
设λ₁=1对应的一个特征向量为α=

x y

，
则由λ₁α=Mα，得0•x-y=0，可令x=1，则y=0，
∴矩阵M的一个特征值λ₁=1对应的一个特征向量为

1 0

，
同理可得矩阵M的一个特征值λ₂=2对应的一个特征向量为

1 1

．

点评：本题主要考查矩阵变换，考查了矩阵特征值与特征向量的计算等基础知识，属于基础题．