Question

3．已知数列{a_n}是递增的等比数列，且a₃+a₆=9，a₂a₇=8．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设S_n为数列{a_n}的前n项和，${b_n}=\frac{{{a_{n+1}}}}{{{S_n}{S_{n+1}}}}$，求数列{b_n}的前n项和T_n；
（3）对于（2）中的T_n，若T_n＜m-2014对一切n∈N^*成立，求最小正整数m．

Answer 1

分析 （1）由已知解方程x²-9x+8=0，得a₃=1，a₆=8，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）由已知条件利用等比数列的前n项和公式先求出S_n，从而得到b_n=4（$\frac{1}{{2}^{n}-1}-\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$），由此利用裂项求和法能求出数列{b_n}的前n项和．
（3）由T_n=4（1-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$）＜4，得到m-2014≥4，由此能求出最小正整数m．

解答 解：（1）∵数列{a_n}是递增的等比数列，且a₃+a₆=9，a₂a₇=8，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{3}+{a}_{6}=9}\\{{a}_{3}＜{a}_{6}}\\{{a}_{3}{a}_{6}=8}\end{array}\right.$，∴a₃，a₆是方程x²-9x+8=0的两个根，
解方程x²-9x+8=0，
得a₃=1，a₆=8，
∴${q}^{3}=\frac{{a}_{6}}{{a}_{3}}$=$\frac{8}{1}$=8，解得q=2，${a}_{1}=\frac{{a}_{3}}{{q}^{2}}=\frac{1}{4}$，
∴${a}_{n}={a}_{1}{q}^{n-1}=\frac{1}{4}×{2}^{n-1}$=2^n-3．
（2）由（1）得：
S_n=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$=$\frac{\frac{1}{4}（1-{2}^{n}）}{1-2}$=$\frac{1}{4}（{2}^{n}-1）$，
${b_n}=\frac{{{a_{n+1}}}}{{{S_n}{S_{n+1}}}}$=$\frac{{2}^{n-2}}{\frac{1}{4}（{2}^{n}-1）•\frac{1}{4}（{2}^{n+1}-1）}$=$\frac{{2}^{n+2}}{（{2}^{n}-1）（{2}^{n+1}-1）}$=4（$\frac{1}{{2}^{n}-1}-\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$），
∴数列{b_n}的前n项和：
T_n=4（1-$\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{7}$+$\frac{1}{7}$-$\frac{1}{15}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}-1}-\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$）
=4（1-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$）
=$\frac{{2}^{n+3}-8}{{2}^{n+1}-1}$．
（3）∵T_n=4（1-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$）＜4，且T_n＜m-2014对一切n∈N^*成立，
∴m-2014≥4，解得m≥2018，
∴最小正整数m为2018．

点评 本题考查数列的通项公式和数列的前n项和公式的求法，考查满足条件的最小正整数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．