Question

8．已知关于x的函数f（x）=m（x²-4x+lnx）-（2m²+1）x+2lnx，其中m∈R，其在点B（1，0）处的切线所对应的函数为g（x）=0．
（1）已知函数f（x）的图象与直线y=k²-2k无公共点，求实数k的取值范围；
（2）已知p≤0，若对任意的x∈[1，2]，总有f（x）≥$\frac{（p-2）x}{2}$+$\frac{p+2}{2x}$+2x-x²成立，求实数p的取值范围．

Answer 1

分析 （1）首先需要将函数f（x）的解析式具体化，由g（x）=0，则f′（1）=0，又（1，0）点在f（x）的图象上，即f（1）=0，则由$\left\{\begin{array}{l}{f}^{'}（1）=0\\ f（1）=0\end{array}\right.$可求m，若f（x）的图象与直线y=k²-2k无公共点，利用导数法求f（x）_max即可；
（2）$f（x）≥\frac{（p-2）x}{2}+\frac{p+2}{2x}+2x-{x}^{2}$恒成立，即$2f（x）-（p-2）x-\frac{p+2}{x}-4x+2{x}^{2}≥0$，
设$F（x）=2f（x）-（p-2）x-\frac{p+2}{x}-4x+2{x}^{2}=2lnx-px-\frac{p+2}{x}$由题意，则F（x）的最小值F（x）_min≥0，利用导数法求F（x）_min，注意对p的分类讨论．

解答 解：（1）函数f（x）=m（x²-4x+lnx）-（2m²+1）x+2lnx的导数
f′（x）=m（2x-4+$\frac{1}{x}$）-（2m²+1）+$\frac{2}{x}$，
由g（x）=0，
即：函数f（x）在B（1，0）处的切线斜率为0，
即有f′（1）=0，f（1）=0，
即为2m²+m-1=0，且2m²+3m+1=0，
解得m=-1，
即有f（x）=-x²+x+lnx，
f（x）=-x²+x+lnx的导数为f′（x）=-2x+1+$\frac{1}{x}$=$\frac{-2{x}^{2}+x+1}{2}$=$\frac{-（2x+1）（x-1）}{x}$，
当x＞1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
当0＜x＜1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．
则有f（x）在x=1处取得极大值，也为最大值，且为0，
由于函数f（x）的图象与直线y=k²-2k无公共点，则k²-2k＞0，
解得k＞2或k＜0；
（2）设F（x）=f（x）-（$\frac{（p-2）x}{2}$+$\frac{p+2}{2x}$+2x-x² ）=lnx-$\frac{p}{2}$x-$\frac{p+2}{2x}$，
F′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{p}{2}$+$\frac{p+2}{2{x}^{2}}$=$\frac{-p{x}^{2}+2x+（p+2）}{2{x}^{2}}$，
当p=0时，F′（x）=$\frac{2x+2}{2{x}^{2}}$＞0，F（x）在[1，2]递增，F（1）=-1＜0不成立，（舍）
当p≠0时F′（x）=$\frac{-p（x+1）（x-\frac{p+2}{p}）}{2{x}^{2}}$，
当1+$\frac{2}{p}$＜-1，即-1＜p＜0时，F（x）在[1，2]递增，F（1）=-p-1＜0，不成立；
当-1＜1+$\frac{2}{p}$≤1，即p＜-1时，F（x）在[1，2]递增，所以F（1）=-2p-2≥0，解得p≤-1，
所以，此时p＜-1；
当p=-1时，F（x）在[1，2]递增，成立；
综上，p的取值范围是（-∞，-1]．

点评 本题考查导数的几何意义、直线方程、利用导数研究函数的极值与最值、恒成立问题、分类讨论思想等．