Question

7．已知△ABC中，2cos2C=8sin²$\frac{A+B}{2}$-7．
（1）求角C的大小；
（2）求cos2A+2cos²B的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由三角形的内角和公式及二倍角公式可得，4sin²$\frac{A+B}{2}$-cos2C=4×$\frac{1+cosC}{2}$-（2cos2C-1）=$\frac{7}{2}$，从而可得4×$\frac{1+cosC}{2}$-（2cos2C-1）=$\frac{7}{2}$解方程可求 cosC，进而求C；
（2）由（I）得A+B=$\frac{2π}{3}$，利用三角函数恒等变换化简可得cos2A+2cos²B=cos（2A+$\frac{π}{3}$）+1，由A∈（0，$\frac{2π}{3}$），2A+$\frac{π}{3}$∈（$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{3}$），可得cos（2A+$\frac{π}{3}$）∈[-1，$\frac{1}{2}$），即可得解．

解答 解：（1）∵A，B，C为三角形的内角，2cos2C=8sin²$\frac{A+B}{2}$-7．
∴A+B+C=π，
∵4sin2 $\frac{A+B}{2}$-cos2C=$\frac{7}{2}$，
∴4cos2 $\frac{C}{2}$-cos2C=$\frac{7}{2}$，
∴4×$\frac{1+cosC}{2}$-（2cos2C-1）=$\frac{7}{2}$
即2cos2C-2cosC+$\frac{1}{2}$=0，
∴cosC=$\frac{1}{2}$，
∵0＜C＜π．
∴C=$\frac{π}{3}$．
（2）由（I）得A+B=$\frac{2π}{3}$，
∴cos2A+2cos²B=cos2A+cos2B+1=cos2A+cos2（$\frac{2π}{3}$-A）+1=$\frac{1}{2}$cos2A-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2A+1
=cos（2A+$\frac{π}{3}$）+1
∵A∈（0，$\frac{2π}{3}$），2A+$\frac{π}{3}$∈（$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{3}$），cos（2A+$\frac{π}{3}$）∈[-1，$\frac{1}{2}$），
∴cos2A+2cos²B=cos（2A+$\frac{π}{3}$）+1∈[0，$\frac{3}{2}$）．

点评 本题主要考查了利用二倍角公式对三角函数式进行化简、求值，还考查了辅助角公式的应用及正弦函数的性质的应用，属于基础知识的简单综合运用，属于中档题．