Question

10．对于函数f（x）、g（x），存在函数h（x），使得f（x）=g（x）•h（x），则称f（x）是g（x）的“h（x）关联函数”．
（1）已知f（x）=sinx，g（x）=cosx，是否存在定义域为R的函数h（x），使得f（x）是g（x）的“h（x）关联函数”？若存在，写出h（x）的解析式；若不存在，请说明理由；
（2）已知函数f（x）、g（x）的定义域为[1，+∞），当x∈[n，n+1）时，f（x）=2^n-1sin$\frac{x}{n}$-1，若存在函数h₁（x）及h₂（x），使得f（x）是g（x）的“h₁（x）关联函数”，且g（x）是f（x）的“h₂（x）关联函数”，求方程g（x）=0的解．

Answer 1

分析 （1）假设存在定义域为R的函数h（x），使得f（x）是g（x）的“h（x）关联函数”．再由同角的三角函数的关系式，即可判断；
（2）由题意可得f（x）=g（x）h₁（x），g（x）=f（x）h₂（x），相乘可得，h₁（x）h₂（x）=1，即有g（x）=0，即为f（x）=0，解三角方程，即可得到所求的解．

解答 解：（1）假设存在定义域为R的函数h（x），
使得f（x）是g（x）的“h（x）关联函数”．
即有sinx=cosx•h（x），解得h（x）=tanx，
由tanx的定义域为{x|x≠kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z}，
故不存在定义域为R的函数h（x）；
（2）由题意可得f（x）=g（x）h₁（x），g（x）=f（x）h₂（x），
相乘可得，h₁（x）h₂（x）=1，
即有g（x）=0，即为f（x）=0，
即2^n-1sin$\frac{x}{n}$-1=0，即sin$\frac{x}{n}$=$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，
解得$\frac{x}{n}$=2kπ+arcsin$\frac{1}{{2}^{n-1}}$或2kπ+π-arcsin$\frac{1}{{2}^{n-1}}$（k≥0且k∈Z），
即为x=n（2kπ+arcsin$\frac{1}{{2}^{n-1}}$）或n（2kπ+π-arcsin$\frac{1}{{2}^{n-1}}$）（k≥0且k∈Z）．

点评 本题考查新定义的理解和运用，考查三角函数的化简和求值，考查运算能力，属于中档题．