Question

2．空间四边形ABCD中，对角线AC，BD与各边长均为1，O为△BCD的重心，M是AC的中点，E是AO的中点，求异面直线OM与BE所成的角为$\frac{π}{4}$．

Answer 1

分析 连接BO并延长，交CD于F，以F为坐标原点建立空间坐标系，求出异面直线OM与BE的方向向量，代入向量夹角公式，可得答案．

解答 解：∵空间四边形ABCD中，各边长均为1，
故ABCD为正四面体，
连接BO并延长，交CD于F，
以F为坐标原点建立如图所示的空间坐标系：

则F（0，0，0），B（0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0），O（0，$\frac{\sqrt{3}}{6}$，0），A（0，$\frac{\sqrt{3}}{6}$，$\frac{\sqrt{6}}{3}$），
E（0，$\frac{\sqrt{3}}{6}$，$\frac{\sqrt{6}}{6}$），C（$\frac{1}{2}$，0，0），M（$\frac{1}{4}$，$\frac{\sqrt{3}}{12}$，$\frac{\sqrt{6}}{6}$），
∴$\overrightarrow{OM}$=（$\frac{1}{4}$，-$\frac{\sqrt{3}}{12}$，$\frac{\sqrt{6}}{6}$），$\overrightarrow{BE}$=（0，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{\sqrt{6}}{6}$），
设异面直线OM与BE所成的角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{BE}|}{\left|\overrightarrow{OM}\right|•\left|\overrightarrow{BE}\right|}$=$\frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故异面直线OM与BE所成的角为：$\frac{π}{4}$，
故答案为：$\frac{π}{4}$．

点评 本题考查的知识点是空间异面直线的夹角，建立空间坐标系，将异面直线夹角转化为向量夹角，是解答的关键．