Question

11．已知a、b∈R，a+b=1，用分析法证明：（a+2）²+（b+2）²≥$\frac{25}{2}$．

Answer 1

分析 寻找使不等式：（a+2）²+（b+2）²≥$\frac{25}{2}$成立的充分条件，直到使不等式成立的充分条件已经显然具备为止．

解答 证明：要证：（a+2）²+（b+2）²≥$\frac{25}{2}$，
只要证：a²+b²+4（a+b）+8≥$\frac{25}{2}$，
∵a+b=1，
∴只要证a²+b²≥$\frac{1}{2}$，
∴即证a²+（1-a）²≥$\frac{1}{2}$
只要证（a-$\frac{1}{2}$）²≥0，
显然成立，故原不等式成立．

点评 本题主要考查基本不等式的应用，用分析法证明不等式，利用用分析法证明不等式的关键是寻找使不等式成立的充分条件，直到使不等式成立的充分条件已经显然具备为止，属于中档题．