Question

1．在△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C的对边，且$\sqrt{3}$acosB+bsinA=0．
（I）求角B的大小；
（Ⅱ）若△ABC的面积S=$\sqrt{3}$，a=1，求b．

Answer 1

分析 （I）由题意和正弦定理结合同角三角函数基本关系可得tanB=-$\sqrt{3}$，可得B=$\frac{2π}{3}$；
（Ⅱ）由（I）知sinB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，cosB=-$\frac{1}{2}$，由面积可得c值，再由余弦定理可得．

解答 解：（I）由$\sqrt{3}$acosB+bsinA=0和正弦定理
可得$\sqrt{3}$sinAcosB+sinBsinA=0，
由sinA≠0可得$\sqrt{3}$cosB+sinB=0
，故tanB=$\frac{sinB}{cosB}$=-$\sqrt{3}$
∴角B的大小为$\frac{2π}{3}$；
（Ⅱ）由（I）知sinB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，cosB=-$\frac{1}{2}$，
又S=$\frac{1}{2}ac$sinB=$\frac{\sqrt{3}}{4}$c=$\sqrt{3}$，∴c=4，
由余弦定理可得b²=1²+4²-2×1×4×（-$\frac{1}{2}$）=21，
∴b=$\sqrt{21}$．

点评 本题考查正余弦定理解三角形，涉及和差角的三角函数公式，属中档题．