Question

已知a，b＞0，且a+b=1，求证：
（Ⅰ）

1

a2

+

1

b2

≥8；
（Ⅱ）

1

a

+

1

b

+

1

ab

≥8．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用a+b=1，通过重要不等式以及基本不等式，推出

1

ab

≥4，然后证明

1

a2

+

1

b2

≥8；
（Ⅱ）利用a+b=1，利用1的代换，转化

1

a

+

1

b

+

1

ab

为

1

a

+

1

b

，利用基本不等式即可求证结果．

解答：证明：（Ⅰ）∵ab≤（

a+b

2

）²=

1

4

，当且仅当a=b时等号成立，
∵a+b=1，a=b=

1

2

，∴

1

ab

≥4．
∵

1

a2

+

1

b2

≥

2

ab

≥8，当且仅当a=b=

1

2

时等号成立，
∴

1

a2

+

1

b2

≥8．（5分）
（Ⅱ）∵

1

a

+

1

b

+

1

ab

=

1

a

+

1

b

+

a+b

ab

=

1

a

+

1

b

+

1

a

+

1

b

=2（a+b）（

1

a

+

1

b

）
=4+2（

b

a

+

a

b

）
≥4+4

b a • a b

=8，当且仅当a=b=

1

2

时等号成立，
∴

1

a

+

1

b

+

1

ab

≥8．（10分）

点评：利用基本不等式以及重要不等式以及“1”的代换，注意“正、定、等”的应用．