Question

【题目】设n是正整数，r为正有理数．
（1）求函数f（x）=（1+x）r+1﹣（r+1）x﹣1（x＞﹣1）的最小值；
（参考数据： ．
（2）证明： ；
（3）设x∈R，记[x]为不小于x的最小整数，例如 ．令 的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由题意得f'（x）=（r+1）（1+x）r﹣（r+1）=（r+1）[（1+x）r﹣1]，

令f'（x）=0，解得x=0．

当﹣1＜x＜0时，f'（x）＜0，∴f（x）在（﹣1，0）内是减函数；

当x＞0时，f'（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）内是增函数．

故函数f（x）在x=0处，取得最小值为f（0）=0．

（2）

证明：由（1），当x∈（﹣1，+∞）时，有f（x）≥f（0）=0，

即（1+x）r+1≥1+（r+1）x，且等号当且仅当x=0时成立，

故当x＞﹣1且x≠0，有（1+x）r+1＞1+（r+1）x，①

在①中，令 （这时x＞﹣1且x≠0），得 ．

上式两边同乘nr+1，得（n+1）r+1＞nr+1+nr（r+1），

即 ，②

当n＞1时，在①中令 （这时x＞﹣1且x≠0），

类似可得 ，③

且当n=1时，③也成立．

综合②，③得 ，④

（3）

解：在④中，令 ，n分别取值81，82，83，…，125，

得 ， ， ，… ，

将以上各式相加，并整理得 ．

代入数据计算，可得

由[S]的定义，得[S]=211．

【解析】（1）先求出函数f（x）的导函数f′（x），令f'（x）=0，解得x=0，再求出函数的单调区间，进而求出最小值为f（0）=0；（2）根据（1）知，即（1+x）r+1≥1+（r+1）x，令 代入并化简得 ，再令 得， ，即结论得到证明；（3）根据（Ⅱ）的结论，令 ，n分别取值81，82，83，…，125，分别列出不等式，再将各式相加得， ，再由参考数据和条件进行求解．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用利用导数研究函数的单调性和数列的前n项和的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；数列{an}的前n项和sn与通项an的关系．