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已知A、B、C是直线l上不同的三点,O是l外一点,向量满足:记y=f(x).
(1)求函数y=f(x)的解析式:
(2)若对任意不等式恒成立,求实数a的取值范围:
(3)若关于x的方程f(x)=2x+b在(0,1]上恰有两个不同的实根,求实数b的取值范围.
(1);(2);(3).

试题分析:(1)根据条件中以及A,B,C三点共线可得,从而求得y的解析式;(2)要使上恒成立,只需,通过求导判断的单调性即可求得上的最大值,从而得到a的取值范围;(3)题中方程等价于,因此要使方程有两个不同的实根,只需求得在(0,1]上的取值范围即可,通过求导判断单调性显然可以得到在(0,1]上的取值情况.
(1)
又∵A,B,C在同一直线上,∴,则
    4分
(2)①    5分
依题意知上恒成立,
∴h(x)在上是增函数,要使不等式①成立,当且仅当.    8分;
(3)方程即为变形为

    10分
列表写出 x,在[0,1]上的变化情况:
 
x
 
0
(0,)

(,1)
 
1

 
小于0
取极小值
大于0
 
 

 
ln2
 
单调递减

 
单调递增

显然?g(x)在(0,1]上的极小值也即为它的最小值.    12分
现在比较ln2与的大小;

∴要使原方程在(0,1]上恰有两个不同的实根,必须使
即实数b的取值范围为    14分.
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