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已知,其中e为自然对数的底数.
(1)若是增函数,求实数的取值范围;
(2)当时,求函数上的最小值;
(3)求证:.
(1)实数的取值范围是.
(2)当时,
时,
时,.
(3)见解析.

试题分析:(1)由题意知上恒成立.
根据,知上恒成立,即上恒成立. 只需求时,的最大值.
(2)当时,则.
根据分别得到的增区间为(2,+∞),减区间为(-∞,0),(0,2). 因为,所以
因此,要讨论①当,即时,②当,即时,③当时等三种情况下函数的最小值.
(3)由(2)可知,当时,,从而
可得
故利用



(1)由题意知上恒成立.
,则上恒成立,
上恒成立. 而当时,,所以
于是实数的取值范围是.                     4分
(2)当时,则.
,即时,
,即时,.
的增区间为(2,+∞),减区间为(-∞,0),(0,2).   6分
因为,所以
①当,即时,在[]上单调递减,
所以
②当,即时,上单调递减,
上单调递增,所以
③当时,在[]上单调递增,所以.
综上,当时,
时,
时,.              9分
(3)由(2)可知,当时,,所以
可得                 11分
于是



                               14分
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