Question

14．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）与x轴负半轴交于点C，A为椭圆在第一象限的点，直线OA交椭圆于另一点B，椭圆的左焦点为F，若直线AF平分线段BC，则椭圆的离心率等于$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 由题意可得C（-a，0），F（-c，0），设A（m，n），可得B（-m，-n），运用中点坐标公式和三点共线的条件：斜率相等，结合离心率公式计算即可得到所求值．

解答 解：由题意可得C（-a，0），F（-c，0），
设A（m，n），可得B（-m，-n），
可得BC的中点H为（-$\frac{a+m}{2}$，-$\frac{n}{2}$），
由A，F，H三点共线，可得：
k_AF=k_HF，
即为$\frac{n}{m+c}$=$\frac{\frac{n}{2}}{-c+\frac{a+m}{2}}$，
即m+c=-2c+a+m，
即有a=3c，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{3}$．
故答案为：$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用中点坐标公式和三点共线的条件：斜率相等，考查运算能力，属于中档题．