Question

5．已知点F₁，F₂分别为椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左右焦点，且椭圆C的短轴长为2，点P为椭圆上任意一点，点P到焦点F₂的距离的最大值为$\sqrt{2}$+1．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若动直线l与椭圆C有且只有一个公共点，则在x轴上是否存在两个定点，使它们到直线l的距离之积为1？若存在，请求出这两个定点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由题意可得b=1，点P到焦点F₂的距离的最大值为$\sqrt{2}$+1，即为a+c=$\sqrt{2}$+1，再由a，b，c的关系，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；
（2）分类讨论，利用直线l与椭圆C有只有一个公共点，确定k，p的关系，设在x轴上存在两点（s，0），（t，0），使其到直线l的距离之积为1，建立方程，即可求得结论．

解答 解：（1）由题意可得2b=2，即b=1，
点P到焦点F₂的距离的最大值为$\sqrt{2}$+1，即为a+c=$\sqrt{2}$+1，
又a²-b²=c²，解得a=$\sqrt{2}$，c=1，
可得椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1；
（2）①当直线l斜率存在时，设直线l方程为y=kx+p，
代入椭圆方程得（1+2k²）x²+4kpx+2p²-2=0．
因为直线l与椭圆C有只有一个公共点，
所以△=16k²p²-4（1+2k²）（2p²-2）=8（1+2k²-p²）=0，
即1+2k²=p²．
设在x轴上存在两点（s，0），（t，0），使其到直线l的距离之积为1，
则$\frac{|ks+p|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$•$\frac{|kt+p|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{|{k}^{2}st+kp（s+t）+{p}^{2}|}{1+{k}^{2}}$=1，
即（st+1）k+p（s+t）=0（*），或（st+3）k²+（s+t）kp+2=0 （**）．
由（*）恒成立，得$\left\{\begin{array}{l}{st+1=0}\\{s+t=0}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{s=1}\\{t=-1}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{s=-1}\\{t=1}\end{array}\right.$，
而（**）不恒成立．
②当直线l斜率不存在时，直线方程为x=±$\sqrt{2}$时，
定点（-1，0）、F₂（1，0）到直线l的距离之积d₁?d₂=（$\sqrt{2}$-1）（$\sqrt{2}$+1）=1．
综上，存在两个定点（1，0），（-1，0），使其到直线l 的距离之积为定值1．

点评 本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查存在性问题的研究，考查学生的计算能力，同时考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．