Question

15．已知正项等差数列{a_n}中，其前n项和为S_n，满足2S_n=a_n•a_n+1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=$\frac{{S}_{n}-1}{{2}^{{a}_{n}}}$，T_n=b₁+b₂+…+b_n，求证：T_n＜3．

Answer 1

分析 （1）设正项等差数列{a_n}的公差为d，由于2S_n=a_n•a_n+1，可得：当n=1时，2a₁=a₁•a₂，解得a₂=2．当n≥2时，可得2a_n=a_n（a_n+1-a_n-1），即a_n+1-a_n-1=2．可得d，再利用通项公式即可得出．
（2）由（1）可得：S_n=$\frac{n（n+1）}{2}$．可得b_n=$\frac{{S}_{n}-1}{{2}^{{a}_{n}}}$=$\frac{n（n+1）}{{2}^{n+1}}$-$\frac{1}{{2}^{n}}$，令A_n为数列$\{\frac{n（n+1）}{{2}^{n+1}}\}$的前n项和，两次利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 （1）解：设正项等差数列{a_n}的公差为d，
∵2S_n=a_n•a_n+1，∴当n=1时，2a₁=a₁•a₂，解得a₂=2．
当n≥2时，2S_n-1=a_n-1•a_n，∴2a_n=a_n（a_n+1-a_n-1），
∵a_n＞0，∴a_n+1-a_n-1=2．
∴（a_n+1-a_n）+（a_n-a_n-1）=2d=2，解得d=1．
∴a_n=a₂+（n-2）d=2+（n-2）=n．
（2）证明：由（1）可得：S_n=$\frac{n（n+1）}{2}$．
∴b_n=$\frac{{S}_{n}-1}{{2}^{{a}_{n}}}$=$\frac{\frac{n（n+1）}{2}-1}{{2}^{n}}$=$\frac{n（n+1）}{{2}^{n+1}}$-$\frac{1}{{2}^{n}}$，
令A_n为数列$\{\frac{n（n+1）}{{2}^{n+1}}\}$的前n项和，
则A_n=$\frac{1×2}{{2}^{2}}+\frac{2×3}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n（n+1）}{{2}^{n+1}}$，
$\frac{1}{2}{A}_{n}$=$\frac{1×2}{{2}^{3}}+\frac{2×3}{{2}^{4}}$+…+$\frac{（n-1）n}{{2}^{n+1}}$+$\frac{n（n+1）}{{2}^{n+2}}$，
∴$\frac{1}{2}{A}_{n}$=$\frac{2}{{2}^{2}}+2（\frac{2}{{2}^{3}}+\frac{3}{{2}^{4}}+…+\frac{n}{{2}^{n+1}}）$-$\frac{n（n+1）}{{2}^{n+2}}$，
令B_n=$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{2}{{2}^{3}}+\frac{3}{{2}^{4}}+$…+$\frac{n}{{2}^{n+1}}$，
$\frac{1}{2}{B}_{n}$=$\frac{1}{{2}^{3}}+\frac{2}{{3}^{4}}$+…+$\frac{n-1}{{2}^{n+1}}$+$\frac{n}{{2}^{n+2}}$，
∴$\frac{1}{2}{B}_{n}$=$\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n+1}}$-$\frac{n}{{2}^{n+2}}$=$\frac{\frac{1}{4}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{n}{{2}^{n+2}}$=$\frac{1}{2}-\frac{2+n}{{2}^{n+2}}$，
∴B_n=1-$\frac{2+n}{{2}^{n+1}}$．
∴$\frac{1}{2}{A}_{n}$=$\frac{1}{2}$+2$（1-\frac{2+n}{{2}^{n+1}}-\frac{1}{4}）$-$\frac{n（n+1）}{{2}^{n+2}}$=2-$\frac{{n}^{2}+5n+8}{{2}^{n+2}}$，
∴A_n=4-$\frac{{n}^{2}+5n+8}{{2}^{n+1}}$．
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=4-$\frac{{n}^{2}+5n+8}{{2}^{n+1}}$-$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$=3-$\frac{{n}^{2}+5n+8}{{2}^{n+1}}$+$\frac{1}{{2}^{n}}$=3-$\frac{{n}^{2}+5n+6}{{2}^{n+1}}$＜3．
∴T_n＜3．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”，考查了推理能力与计算能力，属于难题．