Question

7．若关于x的不等式x²-2mx+1＞0在[$\frac{1}{2}$，2）内恒成立，则m的取值范围（-∞，1）．

Answer 1

分析 问题转化为：m＜$\frac{x}{2}$+$\frac{1}{2x}$在x∈[$\frac{1}{2}$，2）内恒成立，令f（x）=$\frac{x}{2}$+$\frac{1}{2x}$，求出f（x）的单调区间，得到f（x）的最小值，从而求出m的范围即可．

解答 解：若关于x的不等式x²-2mx+1＞0在[$\frac{1}{2}$，2）内恒成立，
只需m＜$\frac{x}{2}$+$\frac{1}{2x}$在x∈[$\frac{1}{2}$，2）内恒成立，
令f（x）=$\frac{x}{2}$+$\frac{1}{2x}$，则f′（x）=$\frac{{x}^{2}-1}{{2x}^{2}}$，
令f′（x）＞0，解得：1＜x＜2，
令f′（x）＜0，解得：$\frac{1}{2}$≤x＜1，
∴f（x）在[$\frac{1}{2}$，1）递减，在（1，2）递增，
∴f（x）_min=f（1）=1，
∴m＜1，
故答案为：（-∞，1）．

点评 本题考查了函数恒成立问题，考查函数的单调性、最值问题，是一道中档题．