Question

10．设x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x≤3}\\{x+y≥0}\\{x-y+6≥0}\end{array}\right.$，若z=ax+y的最大值为3a+9，最小值为3a-3，则a的取值范围是（　　）

• A． a≤-1
• B． a≥1
• C． -1≤a≤1
• D． a≥1或a≤-1

Answer 1

分析 由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，对a分类讨论得到最优解，求得最优解的坐标，代入目标函数，求出满足最大值为3a+9，最小值为3a-3的a的取值范围．

解答 解：由约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x≤3}\\{x+y≥0}\\{x-y+6≥0}\end{array}\right.$作出可行域如图，

联立$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{x+y=0}\end{array}\right.$，解得A（3，-3），
联立$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{x-y+6=0}\end{array}\right.$，解得B（3，9），
联立$\left\{\begin{array}{l}{x+y=0}\\{x-y+6=0}\end{array}\right.$，解得C（-3，3）．
化目标函数z=ax+y为y=-ax+z，
由图可知，当-1≤-a≤1，即-1≤a≤1时，直线y=-ax+z过A点直线在y轴上的截距最小，z有最小值为3a-3；
直线y=-ax+z过B点直线在y轴上的截距最大，z有最大值为3a+9．
当a＞1时，直线y=-ax+z过C点直线在y轴上的截距最大，z有最大值为-3a+3，不合题意，
当a＜-1时，直线y=-ax+z过C点直线在y轴上的截距最小，z有最小值为-3a+3，不合题意．
综上，a的取值范围是-1≤a≤1．
故选：C．

点评 本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法和分类讨论的数学思想方法，是中档题．