Question

16．已知双曲线Г：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）经过点P（2，1），且其中一焦点F到一条渐近线的距离为1．
（Ⅰ）求双曲线Г的方程；
（Ⅱ）过点P作两条相互垂直的直线PA，PB分别交双曲线Г于A、B两点，求点P到直线AB距离的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）将P的坐标代入双曲线的方程，再由点到直线的距离公式，可得b=1，解得a，进而得到双曲线的方程；
（Ⅱ）若直线PA的斜率存在，设方程为y-1=k（x-2），将其与双曲线方程联解得到点A关于k的坐标形式，同理得到点B关于k的坐标形式．由直线方程的两点式列式得到直线AB含有参数k的形式，化简后取特殊的k值找到可能经过的定点为P（6，-3），再代入方程加以检验可得所有的直线AB都经过点P．在直线PA的斜率不存在时，易得AB的方程为y=-$\frac{1}{2}$x，直线也经过上述的P点．由此即可得到直线AB恒经过定点M，其坐标为（6，-3）．当PM垂直于AB时，取得最大值．

解答 解：（Ⅰ）将P的坐标代入双曲线的方程，可得$\frac{4}{{a}^{2}}$-$\frac{1}{{b}^{2}}$=1，
由焦点F（c，0）到一条渐近线y=$\frac{b}{a}$x的距离为1，
可得d=$\frac{bc}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=b=1，
解得a=$\sqrt{2}$，
即有双曲线Г的方程为$\frac{{x}^{2}}{2}$-y²=1；
（Ⅱ）①当直线PA的斜率存在时，设直线PA的方程为y-1=k（x-2），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1-2k}\\{{x}^{2}-2{y}^{2}=2}\end{array}\right.$消去y，得（1-2k²）x²-4k（1-2k）x-2（4k²-4k+2）=0，
设A（m，n），可得2m=$\frac{2（4{k}^{2}-4k+2）}{2{k}^{2}-1}$，解得m=$\frac{4{k}^{2}-4k+2}{2{k}^{2}-1}$，n=$\frac{-2{k}^{2}+4k-1}{2{k}^{2}-1}$，
∴点A的坐标为（$\frac{4{k}^{2}-4k+2}{2{k}^{2}-1}$，$\frac{-2{k}^{2}+4k-1}{2{k}^{2}-1}$），
同理算出B的坐标为（$\frac{2{k}^{2}+4k+4}{2-{k}^{2}}$，$\frac{-{k}^{2}-4k-2}{2-{k}^{2}}$），
因此，直线AB的方程为$\frac{y-\frac{-2{k}^{2}+4k-1}{2{k}^{2}-1}}{\frac{-{k}^{2}-4k-2}{2-{k}^{2}}-\frac{-2{k}^{2}+4k-1}{2{k}^{2}-1}}$=$\frac{x-\frac{4{k}^{2}-4k+2}{2{k}^{2}-1}}{\frac{2{k}^{2}+4k+4}{2-{k}^{2}}-\frac{4{k}^{2}-4k+2}{2{k}^{2}-1}}$，
化简得（$\frac{2{k}^{2}+4k+4}{2-{k}^{2}}$-$\frac{4{k}^{2}-4k+2}{2{k}^{2}-1}$）（y-$\frac{-2{k}^{2}+4k-1}{2{k}^{2}-1}$）
=（$\frac{-{k}^{2}-4k-2}{2-{k}^{2}}$-$\frac{-2{k}^{2}+4k-1}{2{k}^{2}-1}$）（x-$\frac{2{k}^{2}+4k+4}{2-{k}^{2}}$）
即$\frac{8{k}^{4}+4{k}^{3}+4k-8}{（2-{k}^{2}）（2{k}^{2}-1）}$（y+$\frac{2{k}^{2}-4k+1}{2{k}^{2}-1}$）=$\frac{-4{k}^{4}-4{k}^{3}-4k-4}{（2-{k}^{2}）（2{k}^{2}-1）}$（x-$\frac{4{k}^{2}-4k+2}{2{k}^{2}-1}$）
即（2k⁴+k³+k-2）（y+$\frac{2{k}^{2}-4k+1}{2{k}^{2}-1}$）=（-k⁴-k³-k+1）（x-$\frac{4{k}^{2}-4k+2}{2{k}^{2}-1}$）
取k=1，化简得直线AB方程为y=-x+3；取k=2，化简得直线AB方程为y=-$\frac{5}{8}$x+$\frac{3}{4}$．
∵直线y=-x+3与直线y=-$\frac{5}{8}$x+$\frac{3}{4}$交于点P（6，-3），∴猜想所有的直线AB经过点P（6，-3），
∵将P（6，-3）代入直线方程，得左右两边相等，∴直线AB恒经过定点P（6，-3）．
②当直线PA的斜率不存在时，可得A（2，-1），B（-2，1），
此时直线AB的方程为y=-$\frac{1}{2}$x，得直线经过上述的P点．
综上所述，可得直线AB恒经过定点M，其坐标为（6，-3）．
当PM⊥AB时，P到直线AB的距离最大，且为$\sqrt{（2-6）^{2}+（1+3）^{2}}$=4$\sqrt{2}$．

点评 本题考查双曲线的方程和性质，考查给出双曲线上的定点P与互相垂直的弦PA、PB，求P到AB的距离的最值的求法，着重考查了直线的基本量与基本形式、双曲线的标准方程与简单几何性质和直线与圆锥曲线的关系等知识，属于难题．