Question

11．已知定义在R上的函数f（x）满足f（x）=2f（x+2），当x∈[0，2）时，f（x）=x²-2x．若x∈[4，6）时，不等式f（x）≥$\frac{t}{4}$-$\frac{1}{2t}$恒成立，则t的取值范围为（　　）

• A． [-2，0）∪[1，+∞）
• B． （-∞，2]∪（0，1]
• C． [-2，0）∪（0，1）
• D． [-2，0）∪（0，1]

Answer 1

分析 根据f（x）=2f（x+2）得出f（x-4）=4f（x），由x∈[0，2）时f（x）的解析式求出x∈[4，6）时f（x）的解析式，求出f（x）的最小值，把不等式f（x）≥$\frac{t}{4}$-$\frac{1}{2t}$化为$\frac{t}{4}$-$\frac{1}{2t}$≤-$\frac{1}{4}$，求出它的解集即可．

解答 解：由题意，定义在R上的函数f（x）满足f（x）=2f（x+2），
∴f（x-2）=2f（x），f（x-4）=2f（x-2）；
即f（x-4）=4f（x）；
又当x∈[0，2）时，f（x）=x²-2x；
当x∈[4，6）时，x-4∈[0，2），
∴f（x-4）=（x-4）²-2（x-4）=x²-10x+24，
∴f（x）=$\frac{1}{4}$x²-$\frac{5}{2}$x+6，
且f（x）图象的对称轴为x=5，最小值为f（5）=-$\frac{1}{4}$；
又不等式f（x）≥$\frac{t}{4}$-$\frac{1}{2t}$恒成立，
即$\frac{t}{4}$-$\frac{1}{2t}$≤-$\frac{1}{4}$恒成立，
∴$\frac{{t}^{2}+t-2}{4t}$≤0，
等价于$\left\{\begin{array}{l}{t＜0}\\{{t}^{2}+t-2≥0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{t＞0}\\{{t}^{2}+t-2≤0}\end{array}\right.$，
解得t≤-2或0＜t≤1；
∴t的取值范围是（-∞，-2]∪（0，1]．
故选：B．

点评 本题考查了函数的性质与应用问题，也考查了不等式的解法与应用问题，考查了是综合性题目．