Question

1．已知函数f（x）=x+alnx，a∈R．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当x∈[1，2]时，都有f（x）＞0成立，求a的取值范围；
（Ⅲ）试问过点P（1，3）可作多少条直线与曲线y=f（x）相切？并说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数f（x）的定义域，函数的导函数，通过（1）当a≥0时，（2）当a＜0时，当0＜x＜-a时，当x＞-a时，导函数的符号，判断函数的单调性．
（Ⅱ）（1）当-a≤1时，（2）当1＜-a＜2时，（3）当-a≥2时，分别求解函数的最值．
（Ⅲ）设切点为（x₀，x₀+alnx₀），则切线斜率$k=1+\frac{a}{x_0}$，求出切线方程，切线过点P（1，3），推出关系式，构造函数$g（x）=a（lnx+\frac{1}{x}-1）-2$（x＞0），求出导函数，（1）当a＜0时，判断g（x）单调性，说明方程g（x）=0无解，切线的条数为0．
（2）当a＞0时，类比求解，推出当a＞0时，过点P（1，3）存在两条切线．
（3）当a=0时，f（x）=x，说明不存在过点P（1，3）的切线．

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为{x|x＞0}．$f'（x）=1+\frac{a}{x}=\frac{x+a}{x}$．
（1）当a≥0时，f′（x）＞0恒成立，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；
（2）当a＜0时，令f′（x）=0，得x=-a．
当0＜x＜-a时，f′（x）＜0，函数f（x）为减函数；
当x＞-a时，f′（x）＞0，函数f（x）为增函数．
综上所述，当a≥0时，函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞）．
当a＜0时，函数f（x）的单调递减区间为（0，-a），单调递增区间为（-a，+∞）．
…（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，
（1）当-a≤1时，即a≥-1时，函数f（x）在区间[1，2]上为增函数，
所以在区间[1，2]上，f（x）_min=f（1）=1，显然函数f（x）在区间[1，2]上恒大于零；
（2）当1＜-a＜2时，即-2＜a＜-1时，函数f（x）在[1，-a）上为减函数，在（-a，2]
上为增函数，所以f（x）_min=f（-a）=-a+aln（-a）．
依题意有f（x）_min=-a+aln（-a）＞0，解得a＞-e，所以-2＜a＜-1．
（3）当-a≥2时，即a≤-2时，f（x）在区间[1，2]上为减函数，
所以f（x）_min=f（2）=2+aln2．
依题意有f（x）_min=2+aln2＞0，解得$a＞-\frac{2}{ln2}$，所以$-\frac{2}{ln2}＜a≤-2$．
综上所述，当$a＞-\frac{2}{ln2}$时，函数f（x）在区间[1，2]上恒大于零．…（8分）
（Ⅲ）设切点为（x₀，x₀+alnx₀），则切线斜率$k=1+\frac{a}{x_0}$，
切线方程为$y-（{x_0}+aln{x_0}）=（1+\frac{a}{x_0}）（x-{x_0}）$．
因为切线过点P（1，3），则$3-（{x_0}+aln{x_0}）=（1+\frac{a}{x_0}）（1-{x_0}）$．
即$a（ln{x_0}+\frac{1}{x_0}-1）-2=0$．           …①
令$g（x）=a（lnx+\frac{1}{x}-1）-2$（x＞0），则 $g'（x）=a（\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}）=\frac{a（x-1）}{x^2}$．
（1）当a＜0时，在区间（0，1）上，g′（x）＞0，g（x）单调递增；
在区间（1，+∞）上，g′（x）＜0，g（x）单调递减，
所以函数g（x）的最大值为g（1）=-2＜0．
故方程g（x）=0无解，即不存在x₀满足①式．
因此当a＜0时，切线的条数为0．
（2）当a＞0时，在区间（0，1）上，g′（x）＜0，g（x）单调递减，
在区间（1，+∞）上，g′（x）＞0，g（x）单调递增，
所以函数g（x）的最小值为g（1）=-2＜0．
取${x_1}={e^{1+\frac{2}{a}}}＞e$，则$g（{x_1}）=a（1+\frac{2}{a}+{e^{-1-\frac{2}{a}}}-1）-2=a{e^{-1-\frac{2}{a}}}＞0$．
故g（x）在（1，+∞）上存在唯一零点．
取${x_2}={e^{-1-\frac{2}{a}}}＜\frac{1}{e}$，则$g（{x_2}）=a（-1-\frac{2}{a}+{e^{1+\frac{2}{a}}}-1）-2=a{e^{1+\frac{2}{a}}}-2a-4$=$a[{e^{1+\frac{2}{a}}}-2（1+\frac{2}{a}）]$．
设$t=1+\frac{2}{a}（t＞1）$，u（t）=e^t-2t，则u′（t）=e^t-2．
当t＞1时，u′（t）=e^t-2＞e-2＞0恒成立．
所以u（t）在（1，+∞）单调递增，u（t）＞u（1）=e-2＞0恒成立．所以g（x₂）＞0．
故g（x）在（0，1）上存在唯一零点．
因此当a＞0时，过点P（1，3）存在两条切线．
（3）当a=0时，f（x）=x，显然不存在过点P（1，3）的切线．
综上所述，当a＞0时，过点P（1，3）存在两条切线；
当a≤0时，不存在过点P（1，3）的切线．…（13分）

点评 本题考查函数的导数的综合应用，切线方程的求法，函数的单调性以及函数的最值，考查分析问题解决问题的能力，转化思想以及分类讨论思想的应用，是难度比较大的题目．