Question

16．斜率为1的直线与椭圆x²+4y²=4交于A，B两点，则|AB|的最大值为$\frac{4\sqrt{10}}{5}$．

Answer 1

分析 设斜率为1的直线为y=x+t，代入椭圆方程x²+4y²=4，运用判别式大于0和韦达定理，弦长公式，化简整理，由二次函数的最值的求法，即可得到最大值．

解答 解：设斜率为1的直线为y=x+t，代入椭圆方程x²+4y²=4，可得
5x²+8tx+4t²-4=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
可得判别式为64t²-80（t²-1）＞0，
解得-$\sqrt{5}$＜t＜$\sqrt{5}$，
x₁+x₂=-$\frac{8t}{5}$，x₁x₂=$\frac{4{t}^{2}-4}{5}$，
弦长|AB|=$\sqrt{2}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\sqrt{2}$•$\sqrt{\frac{64{t}^{2}}{25}-\frac{16（{t}^{2}-1）}{5}}$=$\frac{4\sqrt{2}}{5}$•$\sqrt{5-{t}^{2}}$≤$\frac{4\sqrt{10}}{5}$．
当t=0时，|AB|取得最大值$\frac{4\sqrt{10}}{5}$．
故答案为：$\frac{4\sqrt{10}}{5}$．

点评 本题考查直线方程和椭圆方程联立，运用判别式大于0和韦达定理，以及弦长公式，考查二次函数的最值的求法，属于中档题．