Question

5．在等腰△ABC中，已知BC=4，∠BAC=120°，若点P是BC边上的动点，点E满足$\overrightarrow{BE}$=3$\overrightarrow{EC}$，则$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AE}$的最大值和最小值之差是4．

Answer 1

分析 由题意可得$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}$=$\frac{4}{\sqrt{3}}•4•（-\frac{\sqrt{3}}{2}）$=-8，$\overrightarrow{BP}$=λ•$\overrightarrow{BC}$，0≤λ≤1，计算 $\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AE}$=（$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BP}$）•（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BC}$）为4λ-$\frac{2}{3}$，0≤λ≤1，从而求得它的最大值和最小值，从而得出结论．

解答 解：∵三角形ABC中，AB=AC，BC=4，∠BAC=120°，
∴AB=$\frac{4}{\sqrt{3}}$，∠ABC=30°，
∴$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}$=$\frac{4}{\sqrt{3}}•4•（-\frac{\sqrt{3}}{2}）$=-8．
∵$\overrightarrow{BE}$=3$\overrightarrow{EC}$，∴$\overrightarrow{BE}$=$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{BC}$，∴$\overrightarrow{BP}$=λ•$\overrightarrow{BC}$，0≤λ≤1，
∵$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AE}$=（$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BP}$）•（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BC}$）
=${\overrightarrow{AB}}^{2}$+λ•$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}$+$\frac{3}{4}$•${\overrightarrow{BC}}^{2}$+3•$\frac{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}}{4}$
=$\frac{16}{3}$-8λ+12λ+$\frac{3}{4}$•（-8）=4λ-$\frac{2}{3}$，0≤λ≤1，
故当λ=0时，$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AE}$ 取得最小值为-$\frac{2}{3}$，当λ=1时，$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AE}$ 取得最大值为$\frac{10}{3}$，
故则$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AE}$的最大值和最小值之差是$\frac{10}{3}$+$\frac{2}{3}$=4，
故答案为：4．

点评 本题考查了平面向量的运用算，向量的分解合成，数量积的运用，属于中档题，关键是转化为统一的向量求解．