Question

17．如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M，N，P分别为棱AB，BC，C₁D₁的中点．
求证：（1）AP∥平面C₁MN；
（2）平面B₁BDD₁⊥平面C₁MN．

Answer 1

分析 （1）推导出四边形AMC₁P为平行四边形，从而AP∥C₁M，由此能证明AP∥平面C₁MN．
（2）连结AC，推导出MN⊥BD，DD₁⊥MN，从而MN⊥平面BDD₁B₁，由此能证明平面B₁BDD₁⊥平面C₁MN．

解答 证明：（1）在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中
∵M，N，P分别为棱AB，BC，C₁D₁的中点，
∴AM=PC₁，
又AM∥CD，PC₁∥CD，故AM∥PC₁，
∴四边形AMC₁P为平行四边形，
∴AP∥C₁M，
又AP?平面C₁MN，C₁M?平面C₁MN，
∴AP∥平面C₁MN．
（2）连结AC，在正方形ABCD中，AC⊥BD，
又M、N分别为棱AB、BC的中点，∴MN∥AC，
∴MN⊥BD，
在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，DD₁⊥平面ABCD，
又MN?平面ABCD，∴DD₁⊥MN，
而DD₁∩DB=D，DD₁、DB?平面BDD₁B₁，
∴MN⊥平面BDD₁B₁，
又MN?平面C₁MN，∴平面B₁BDD₁⊥平面C₁MN．

点评 本题考查线面平行的证明，考查面面垂直的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．