Question

8．已知e为自然对数的底数，若对任意的x∈[0，1]，总存在唯一的y∈[-1，1]，使得x+y²e^y-a=0成立，则实数a的取值范围是（　　）

• A． [1，e]
• B． $（1+\frac{1}{e}，e]$
• C． （1，e]
• D． $[1+\frac{1}{e}，e]$

Answer 1

分析 由x+y²e^y-a=0成立，解得y²e^y=a-x，根据题意可得：a-1≥（-1）²e^-1，且a-0≤1²×e¹，解出并且验证等号是否成立即可得出．

解答 解：由x+y²e^y-a=0成立，解得y²e^y=a-x，
∴对任意的x∈[0，1]，总存在唯一的y∈[-1，1]，使得x+y²e^y-a=0成立，
∴a-1≥（-1）²e^-1，且a-0≤1²×e¹，
解得$1+\frac{1}{e}$≤a≤e，其中a=1+$\frac{1}{e}$时，y存在两个不同的实数，因此舍去，a的取值范围是$（1+\frac{1}{e}，e]$．
故选：B．

点评 本题考查了函数的单调性、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．