Question

18．在直角坐标系xOy中，曲线C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=1+cosφ}\\{y=sinφ}\end{array}\right.$（φ为参数，0＜φ＜π），曲线C₂与曲线C₁关于原点对称，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C₃的极坐标方程为ρ=2（0＜θ＜π），过极点O的直线l分别与曲线C₁，C₂，C₃相交于点A，B，C．
（Ⅰ）求曲线C₁的极坐标方程；
（Ⅱ）求|AC|•|BC|的取值范围．

Answer 1

分析 （I）利用同角三角函数的关系消元得到C₁的普通方程，在将普通方程转化为极坐标方程；
（II）求出三条曲线的普通方程，设直线方程为y=kx（k＞0），求出A，B，C的坐标，利用三点的位置关系得出|AC|•|BC|=（|OC|-|OA|）•（|OA|+|OC|）=|OC|²-|OA|²．将|AC|•|BC|转化为关于k的函数．

解答 解：（I）曲线C₁的直角坐标方程为（x-1）²+y²=1，即x²+y²-2x=0（0＜y≤1）．
∴曲线C₁的极坐标方程为ρ²-2ρcosθ=0，即ρ=2cosθ（0＜θ＜π）．
（II）曲线C₂的普通方程为（x+1）²+y²=1（-1≤y＜0），
曲线C₃的普通方程为x²+y²=4（0＜y≤2）．
设直线l的方程为y=kx（k＞0）．
则A（$\frac{2}{{k}^{2}+1}$，$\frac{2k}{{k}^{2}+1}$），B（-$\frac{2}{{k}^{2}+1}$，-$\frac{2k}{{k}^{2}+1}$），C（$\frac{2}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，$\frac{2k}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$）．
∵A，B关于原点对称，∴|BC|=|OB|+|OC|=|OA|+|OC|，
∴|AC|•|BC|=（|OC|-|OA|）•（|OA|+|OC|）=|OC|²-|OA|²
=$\frac{4+4{k}^{2}}{{k}^{2}+1}$-$\frac{4+4{k}^{2}}{（{k}^{2}+1）^{2}}$=4-$\frac{4}{{k}^{2}+1}$．
设f（k）=4-$\frac{4}{{k}^{2}+1}$，则f（k）在（0，+∞）上单调递增，
∵f（0）=0，$\underset{lim}{k→+∞}f（k）=4$，
∴0＜f（k）＜4．
即|AC|•|BC|的取值范围时（0，4）．

点评 本题考查了参数方程，极坐标方程与普通方程的转化，直线与圆的位置关系，属于中档题．